Question

4．如图，△ABC是边长为2的正三角形，点D在△ABC内部，且满足DB=DC，DB⊥DC，点E在边AC上，延长ED交线段AB于点H．
（1）若ED=EC请直接写出∠BAD=30°，∠AEH=30°，∠AHE=90°．
（2）若ED=EC，求EH的长；
（3）若AE=x，AH=y，请利用S_△AEH=S_△AED+S_△AHD，求y关于x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ADB≌△ADC，得出∠BAD=30°，由等边三角形和等腰直角三角形的性质求出∠DCE=15°，从而求出∠AEH和∠AHE；
（2）先求出AD，利用有一个角是30°的直角三角形的性质求出DE，DH即可；
（3）先作出对应三角形的高，利用有一个角是30°的直角三角形的性质表示出EG，HM，HN，利用S_△AEH=S_△AED+S_△AHD，建立方程即可．

解答 解：（1）在△ADB和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{AB=AC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，
∵DB=DC，DB⊥DC，
∴∠BCD=45°，
∴∠DCE=15°，
∵ED=EC，
∴∠AEH=2∠DCE=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠AHE=90°，
故答案为：30°，30°，90°；
（2）如图，∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴AF=$\sqrt{3}$，
在△BDC中，DB=DC，DB⊥DC，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴AD=AF-DF=$\sqrt{3}$-1，
由（1）得∠AEH=∠CAD=30°，
∴DE=AD=$\sqrt{3}$-1，
由（1）得∠AHE=90°，∠BAD=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），
∴EH=DH+DE=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）+$\sqrt{3}$-1=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{3}$-1）；
（3）如图，

作延长AD交BC与F，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AF⊥BC，
过点E作EG⊥AF，
由∠DAE=30°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$x，
过点H作HM⊥AD，
∵∠BAD=30°，
∴HM=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$y，
∴S_△AHE=S_△ADH+S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD×HM+$\frac{1}{2}$AD×EG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）×$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）×$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$（x+y），
过点H作HN⊥AE，
∵∠BAC=60°，
∴HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
∴S_△AHE=$\frac{1}{2}$AE×HN=$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy，
∴$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$（x+y）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$xy，
∴y=$\frac{（\sqrt{3}-1）x}{\sqrt{3}x-\sqrt{3}+1}$，
当点E与C重合时，x最大是2，
当点H与点B重合时，x最小，y最大是2，此时x的值为（$\sqrt{3}$-1）²=4-2$\sqrt{2}$，
即：y=$\frac{（\sqrt{3}-1）x}{\sqrt{3}x-\sqrt{3}+1}$（4-2$\sqrt{2}$＜x＜2）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质（尤其是有一个角是30°的直角三角形的性质），用面积关系建立方程，解本题的关键是有一个角30°的直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半的利用．难点是辅助线的作法．