Question

17．在⊙O中，弦AB，CD互相垂直于E，AE=2，EB=6，ED=3，EC=4，则⊙O的直径是$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 过O作OF⊥AB，OG⊥CD，连接OD，由垂径定理得到F为AB的中点，G为CD的中点，由CE+ED求出CD的长，进而求出CG与GD的长，利用三个角为直角的四边形为矩形得到OGEF为矩形，再由弦相等得到弦心距相等即OF=OG，得到四边形OGEF为正方形，即OG=EG，由CG-CE求出EG的长，即为OG的长，在直角三角形ODG中，利用勾股定理即可求出OD的长．

解答 解：过O作OF⊥AB，OG⊥CD，连接OB，
由垂径定理得到F为AB的中点，G为CD的中点，AE=2，BE=6，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$（AE+BE）=4，ED=3，EC=4，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，
∵∠OFE=∠FEG=∠OGE=90°，
∴四边形OGEF为矩形，
∴OF=EG=CG-CE=$\frac{7}{2}$-3=$\frac{1}{2}$，
在Rt△BOF中，根据勾股定理得：OB=$\sqrt{O{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
∴⊙O的直径是：$\sqrt{65}$．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，矩形、正方形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．