Question

10．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC
（1）判断：BE与DF的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）若OH=4$\sqrt{2}$，求正方形ABCD面积．

Answer 1

分析 （1）根据SAS，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠CEB=∠F，BE=DF，再根据直角三角新的判定，可得答案；
（2）由（1）可知∠CBE=∠CDF，利用三角形内角和定理可得到∠EHD=∠BCE=90°，而BE平分∠DBC，根据等腰三角形的性质得到BH平分DF，即HD=HF，易得OH为△DBF的中位线，所以BF的长可求出，则BD的长也可求出，即正方形ABCD对角线的长度，进而可求出正方形ABCD面积．

解答 解：
（1）BE=DF，BE⊥DF，理由如下：
∵ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°．
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
∴∠CEB=∠F，BE=DF．
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BE⊥DF；
∴BE=DF，BE⊥DF；
（2）
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴BH平分DF，即HD=HF，
而点O为正方形ABCD的中心，即OD=OB，
∴OH为△DBF的中位线，
∴BF=2OH=8$\sqrt{2}$，
∴BF=BD=8$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD面积=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×8$\sqrt{2}$=64．

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及三角形中位线的性质，解决本题的关键是证明△BCE≌△DCF，得到相等的线段和角．