Question

1．如图，反比例函数y=$\frac{k}{2x}$和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A坐标是（1，1），请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P的坐标都求出来；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，请直接写出x取何值时，反比例函数值大于一次函数的值．

Answer 1

分析 （1）把（a，b）、（a+1，b+k）两点代入一次函数解析式可得k，易得解析式；
（2）利用分类讨论的思想，当AO=PO时，易得OP=$\sqrt{2}$，得坐标；当AO=AP时，OP=2，易得P点坐标；当PO=AP时，PO=1，易得坐标；
（3）首先求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，再结合图象得结果．

解答 解：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）两点代入一次函数解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{k}{2a}}\\{b+k=\frac{k}{2（a+1）}}\end{array}\right.$，解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{1}{x}$；

（2）当AO=PO时
∵点A坐标是（1，1），
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{2}$，
∴P点的坐标为（$-\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）；
当AO=AP时，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
当PO=AP时，PO=1，
∴点P的坐标为（1，0）；
综上所述：点P坐标为：（$-\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），（1，0），（2，0）；

（3）∵$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数与反比例函数的交点坐标为：（1，1）（-$\frac{1}{2}$，-2），
由图象可知，当0＜x＜1或x＜$\frac{1}{2}$时，反比例函数值大于一次函数值．

点评 本题主要考查了待定系数法求解析式以及求反比例函数与一次函数的交点坐标，结合图象，分类讨论是解答此题的关键．