Question

6．若$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+3z=0}\\{xyz≠0}\end{array}\right.$，则$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}+27{z}^{3}}{xyz}$=18．

Answer 1

分析 变形x+2y+3z=0为x+2y=-3z，利用等式两边立方也相等，化简后约分求值．

解答 解：∵x+2y+3z=0，所以x+2y=-3z，
所以（x+2y）³=（-3z）³，即x³+6x²y+12xy²+8y³=-27z³，
∴x³+8y³=-27z³-（6x²y+12xy²）
∴原式=$\frac{-27{z}^{3}-（6{x}^{2}y+12x{y}^{2}）+27{z}^{3}}{xyz}$=$\frac{-6xy（x+2y）}{xyz}$=$\frac{-6（x+2y）}{z}=\frac{-6（-3z）}{z}=18$．
故答案为：18．

点评 本题考查了立方根公式及分式约分的相关知识．解决本题的关键是变形已知，代入它们的立方．