Question

18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：AD=AF；
（2）四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=AC，则四边形ADCF是正方形．

Answer 1

分析 （1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，即可证得：AD=AF；
（2）由（1）知，AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形；
（3）由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EDB}\\{AE=DE}\\{∠AEF=∠DEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=AF；

（2）由（1）知，AF=DB．DB=DC，则AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形ADCF是菱形．
故答案是：菱；

（3）解：四边形ADCF是正方形．
∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形．
故答案是：正方．

点评 此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．