Question

10．如图，已知抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+$\sqrt{3}$x+3的图象与y轴交于点B，点C是抛物线在第一象限上的一动点，若以BC为边作正△ABC交y轴于点A，则点A的坐标为（　　）

• A． （-1，0）
• B． （-$\sqrt{3}$，0）
• C． （0，1）
• D． （0，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 可设出A点坐标为（0，m），过C作CD⊥y轴于点D，则可用m表示出C点坐标，代入抛物线解析式可得到关于m的方程，可求得m的值，可求得A点坐标．

解答 解：
设A点坐标为（0，m），过C作CD⊥y轴于点D，
∵y=-$\frac{2}{3}$x²+$\sqrt{3}$x+3，
∴B点坐标为（0，3），
∴AB=3-m，
∵△ABC为正三角形，
∴D为AB中点，BC=AB=3-m，
∴BD=$\frac{3-m}{2}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$，
∵OA=-m，
∴OD=$\frac{3-m}{2}$-（-m）=$\frac{3+m}{2}$，
∴C点坐标为（$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$，$\frac{3+m}{2}$），
∵点C在抛物线上，
∴$\frac{3+m}{2}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$）²+$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$+3，
解得m=3或m=-1，
∵点C是抛物线在第一象限上的一动点，
∴A点应该在y轴负半轴上，
∴m=-1，
∴A点坐标为（0，-1），
故选A．

点评 本题主要考查正三角形的性质，利用条件用A点坐标表示出C点坐标是解题的关键．