Question

19．如图，对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$的抛物线经过B（2，0），C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可．

解答 解：（1）由对称性得：A（-1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
把C（0，4）代入：4=-2a，
a=-2，
∴y=-2（x+1）（x-2），
∴抛物线的解析式为：y=-2x²+2x+4；
（2）如图1，设点P（m，-2m²+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S=S_梯形+S_△PDB=$\frac{1}{2}$m（-2m²+2m+4+4）+$\frac{1}{2}$（-2m²+2m+4）（2-m），
S=-2m²+4m+4=-2（m-1）²+6，
∵-2＜0，
∴S有最大值，则S_大=6．

点评 本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化．