Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2．
（1）当AD=3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设AD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式；
（3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似？若能，求AD的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ADE∽△ACB，得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，由此即可解决问题．
（2）由△BGF∽△BCA，得$\frac{BG}{BC}$=$\frac{FG}{AC}$，由此即可解决问题．
（3）分两种情形①当∠A=∠CEF时，△ADE∽△ECF，$\frac{AD}{EC}$=$\frac{ED}{CF}$．②当∠A=∠CFE时，△ADE∽△FCE，$\frac{AD}{FC}$=$\frac{DE}{CE}$，分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴BC=8∵ED⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{DE}{8}$，
∴DE=4．

（2）∵FG⊥AB，
∴∠BGF=∠BCA=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BGF∽△BCA，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{FG}{AC}$，
∴$\frac{8-x}{8}$=$\frac{y}{6}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+6．

（3）由（1）（2）可得：AE=$\frac{5}{3}$x，BF=10-$\frac{5}{4}$x，
∴CE=6-$\frac{5}{3}$x，CF=$\frac{5}{4}$x-2，
当∠A=∠CEF时，△ADE∽△ECF，
∴$\frac{AD}{EC}$=$\frac{ED}{CF}$．
∴$\frac{x}{6-\frac{5}{3}x}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{5}{4}x-2}$，
解得：x=$\frac{72}{25}$；
当∠A=∠CFE时，△ADE∽△FCE，
∴$\frac{AD}{FC}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴$\frac{x}{\frac{5}{4}x-2}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{5}{3}x}$，
解得：$\frac{13}{5}$，
∴当AD的长为$\frac{72}{25}$或$\frac{13}{5}$时△AED与△CEF相似．

点评 本题考查相似三角形综合题、解题的关键是记住相似三角形的判定方法，学会用方程的思想思考问题，学会分类讨论不能漏解，属于中考常考题型．