Question

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，点E是AB的中点，DE=DC，∠EDC=90°，若AB=2，则AD的长是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 延长DE交CB的延长线于点F，将AD替换成BF，再由三角形相似，借助比的特性，即能得出结论．

解答 解：延长DE交CB的延长线于点F，如图，

∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠F，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=1，
在△ADE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠F}\\{∠AED=∠BEF（对顶角）}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD=BF，DE=EF，
∵∠B=∠F+∠BEF=45°，DE=DC，∠EDC=90°，
∴∠CED=∠F+∠ECF=45°，CE=$\sqrt{2}$DE，
∴∠BEF=∠ECF，
∵∠F=∠F，
∴△BEF∽△ECF，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{EF}{CE}$，即$\frac{BF}{EF}$=$\frac{BE}{CE}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}DE}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是巧妙的利用比的特性，化未知为已知，从而得出结论．