Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为4$\sqrt{3}$或6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质得到∠ACD=∠ABC=30°，根据含30°的角的直角三角形的性质得到AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AD⊥AB，
∴∠ACD=∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
①当AP=AB=4$\sqrt{3}$时，
∴PD=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
②当PB=AB=4$\sqrt{3}$，
③∵AB⊥CD，AD≠BD，
∴直线CD不是AB的垂直平分线，
∴PA≠PB，
综上所述：PB=4$\sqrt{3}$或6$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$或6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了含30°的角的直角三角形的性质，勾股定理等腰三角形的性质，熟练掌握含30°的角的直角三角形的性质是解题的关键．