Question

2．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC
（1）求证：∠ACB=2∠BAC
（2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，再根据条件∠AOB=2∠BOC可得∠ACB=2∠BAC；
（2）设∠BAC=x°，则∠OAB=2∠BAC=2x°，再表示出∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x°，再根据三角形内角和为180°可得方程4x+2x+2x=180，再解即可得x的值，进而可得答案．

解答 （1）证明：在⊙O中，
∵∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，
∵∠AOB=2∠BOC．
∴∠ACB=2∠BAC．

（2）解：设∠BAC=x°．
∵AC平分∠OAB，
∴∠OAB=2∠BAC=2x°，
∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=2∠BAC，
∴∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x°，
在△OAB中，
∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴4x+2x+2x=180，
解得：x=22.5，
∴∠AOC=6x°=135°．

点评 此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．