Question

9．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=9O°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠EDC的度数．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△ABE≌△CBD即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BCD=∠BAE，由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠BED=45°，由∠CAE=30°，得出∠BAE=45°-30°=15°，再由三角形的外角性质即可得出所求结果．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBD=180°-90°=90°，
在△ABE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABC=∠CBD}&{\;}\\{BE=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE，
∵AB=CB，∠ABC=9O°，BE=BD，
∴∠BAC=∠BED=45°，∠CAE=30°，
∴∠BAE=45°-30°=15°，
∴∠EDC=∠BED-∠BCD=45°-15°=30°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质；证明三角形全等是解决问题的关键．