Question

如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C上y轴上，点B在反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，点E从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动，过点E作x的垂线，交反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象于点P，过点P作PF⊥y轴于点F；记矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，点E的运动时间为t秒．
（1）求该反比例函数的解析式．
（2）求S与t的函数关系式；并求当S=

9

2

时，对应的t值．
（3）在点E的运动过程中，是否存在一个t值，使△FBO为等腰三角形？若有，有几个，写出t值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数综合题,动点型,存在型,数形结合,分类讨论,方程思想

分析：（1）由正方形OABC的面积为9，可得点B的坐标为：（3，3），继而可求得该反比例函数的解析式．
（2）由题意得P（t，

9

t

），然后分别从当点P₁在点B的左侧时，S=t•（

9

t

-3）=-3t+9与当点P₂在点B的右侧时，则S=（t-3）•

9

t

=9-

27

t

去分析求解即可求得答案；
（3）分别从OB=BF，OB=OF，OF=BF去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴点B的坐标为：（3，3），
∵点B在反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，
∴3=

k

3

，
即k=9，
∴该反比例函数的解析式为：y=

9

x

（x＞0）；

（2）根据题意得：P（t，

9

t

），
分两种情况：①当点P₁在点B的左侧时，S=t•（

9

t

-3）=-3t+9（0≤t≤3）；
若S=

9

2

，
则-3t+9=

9

2

，
解得：t=

3

2

；
②当点P₂在点B的右侧时，则S=（t-3）•

9

t

=9-

27

t

；
若S=

9

2

，则9-

27

t

=

9

2

，
解得：t=6；
∴S与t的函数关系式为：S=-3t+9（0≤t≤3）；S=9-

27

t

（t＞3）；
当S=

9

2

时，对应的t值为

3

2

或6；

（3）存在．
若OB=BF=3

2

，此时CF=BC=3，
∴OF=6，
∴6=

9

t

，
解得：t=

3

2

；
若OB=OF=3

2

，则3

2

=

9

t

，
解得：t=

3 2

5

；
若BF=OF，此时点F与C重合，t=3；
∴当t=

3

2

或

3 2

5

或3时，使△FBO为等腰三角形．

点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．