Question

如图，⊙P过O（0，0），A（0，4），C（2，0），半径PB⊥PA，则点B的坐标为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：连接AC，根据点A、C的坐标求出OA、OC，再利用勾股定理列式求出AC，再求出AP的长，设PB与y轴相交于D，利用∠CAO的余弦列式求出AD，再求出PD，过点B作BE⊥y轴于E，求出∠BDE=∠ACO，然后解直角三角形求出BE、DE，然后求出OE的长度，再写出点B的坐标即可．

解答：解：如图，连接AC，
∵A（0，4），C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
由勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

42+22

=2

5

，
∴AP=

1

2

AC=

1

2

×2

5

=

5

，
设PB与y轴相交于D，
则AD=AP÷cos∠CAO=

5

÷

4

2 5

=

5

2

，
∴OD=OA-AD=4-

5

2

=

3

2

，
PD=AP•tan∠CAO=

5

×

2

4

=

5

2

，
过点B作BE⊥y轴于E，则∠BDE=∠ACO，
①点B在AP的右边时，BD=BP+PD=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
∴BE=

3 5

2

×

4

2 5

=3，
DE=

3 5

2

×

2

2 5

=

3

2

，
∴OE=OD+DE=

3

2

+

3

2

=3，
此时，点E的坐标为（3，3），
②点B在AP的左边时，BD=BP-PD=

5

-

5

2

=

5

2

，
∴BE=

5

2

×

4

2 5

=1，
DE=

5

2

×

2

2 5

=

1

2

，
∴OE=OD-DE=

3

2

-

1

2

=1，
此时，点B的坐标为（-1，1），
综上所述，点B的坐标为（3，3）或（-1，1）．
故答案为：（3，3）或（-1，1）．

点评：本题考查了坐标与图形性质，勾股定理的应用，解直角三角形，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．