题目内容
16．（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=90°+$\frac{α}{2}$；如图2，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，则∠BOC=120°+$\frac{1}{3}$α（用α表示）（2）如图3，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α（用α表示）．
分析 （1）如图2，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+$\frac{1}{3}$α；
（2）如图3，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°-$\frac{1}{3}$α．
解答 解：（1）如图2，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠A）
=120°+$\frac{1}{3}$∠A
=120°+$\frac{1}{3}$α；
（2）如图③，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+∠ACB+∠A+ABC）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠A+180°）
=120°-$\frac{1}{3}$α；
故答案为：120°+$\frac{1}{3}$α；120°-$\frac{1}{3}$α．
点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
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