Question

7．浴缸有两个水龙头，一个放热水，一个放冷水，两水龙头放水速度：放热水的是a升/分，放冷水的速度是b升/分，下面有两种放水方式：
方式一：先开热水，使热水注满浴缸的一半，后一半容积的水接着开冷水龙头注放．
方式二：前一半时间让热水龙头注放，后一半时间让冷水龙头注放．
（1）在方式一中：设浴缸容积为V升，则先开热水，热水注满浴缸一半所需的时间为$\frac{V}{2a}$分；
（2）两种方式中，哪种方式更节省时间？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）首先浴缸容积为V，然后求出方式一和方式二注满时间为t、t′，最后作差比较．

解答 解：（1）先开热水注满浴缸一半所需的时间为$\frac{V}{2a}$分；
故答案为：$\frac{V}{2a}$；
（2）方式一：设浴缸容积为V，注满时间为t，依题意，得t=$\frac{V}{2a}$+$\frac{V}{2b}$，
方式二：同样设浴缸容积为V，注满总时间为t′，依题意得$\frac{1}{2}$t′a+$\frac{1}{2}$t′b=V
所以t′=$\frac{2V}{a+b}$，故t-t′=$\frac{V}{2a}$+$\frac{V}{2b}$-$\frac{2V}{a+b}$=$\frac{V[（a+b）-4ab]}{2ab（a+b）}$=$\frac{V（a-b）^{2}}{2ab（a+b）}$，
分类讨论：
（Ⅰ）当a=b时，t-t′=0，即t=t′
（Ⅱ）当a≠b时，$\frac{V（a-b）^{2}}{2ab（a+b）}$＞0，即t＞t′
综上所述：（1）当放热水速度与放冷水速度不相等时，选择方式二节约时间．
（2）当两水龙头放水速度相等时，选其中任一方式都可以，因为此时注满水的时间相等．

点评 本题考查的是分式的加减运算，解答认真仔细地阅读、理解是关键．