已知矩形ABCD.M是AD边上一点．(1)如图1.AM=MD.BM交AC于F点.BM的延长线与CD的延长线交于点E.连AE.求证:MFBF=EMEB,(2)如图2.AM=MD.过点D任意作直线与BM.BC的延长线分别交于点E.点P.连AE.求证:∠EAD=∠PAD,(3)如图3.E是CD延长线上一点.P是BC延长线上一点.AP交CD与Q点.BE交AD于M点.延长AD交EP于N点.若M是AN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知矩形ABCD，M是AD边上一点．

（1）如图1，AM=MD，BM交AC于F点，BM的延长线与CD的延长线交于点E，连AE，求证：

；
（2）如图2，AM=MD，过点D任意作直线与BM，BC的延长线分别交于点E，点P，连AE，求证：∠EAD=∠PAD；
（3）如图3，E是CD延长线上一点，P是BC延长线上一点，AP交CD与Q点，BE交AD于M点，延长AD交EP于N点，若M是AN的中点，且AB=3，BC=4，求△AEP的面积．

考点：相似形综合题,等腰三角形的判定与性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）由四边形ABCD是矩形得AD∥BC，从而得到△AFM∽△CFB，△EDM∽△ECB，进而得到

，

，由AM=MD就可得到结论．
（2）延长EA、PB交于点R，如图2，由三角形相似可证到

，再由AM=MD可得BR=BP，再由垂直平分线的性质可得到AR=AP，结合AD∥BC就可得∠EAD=∠PAD．
（3）延长EA、PB交于点R，如图3，由（2）得∠EAD=∠PAD，进而证到ED=QD，再由∠EAD=∠APB可证到△ADE∽△PBA，进而得到DE•PB=12．根据S_△AEP=S_△AEQ+S_△PEQ就可求出△AEP的面积．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴△AFM∽△CFB，△EDM∽△ECB．
∴

，

．
∵AM=MD，
∴

．

（2）证明：延长EA、PB交于点R，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△ERB，△EDM∽△EPB．
∴

，

．
∴

．

∵AM=MD，
∴BR=BP．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC．
∴AR=AP．
∴∠R=∠APR．
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠R，∠PAD=∠APR．
∴∠EAD=∠PAD．

（3）解：延长EA、PB交于点R，如图3，
同理可得：∠EAD=∠PAD=∠APB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AD=BC．
∴∠ADE=90°．

∴∠AED=∠AQD．
∴AE=AQ．
∴DE=DQ．
∵∠ADE=∠ABP，∠EAD=∠APB，
∴△ADE∽△PBA．
∴

．
∵AB=3，AD=BC=4，
∴

．
∴DE•PB=12．
∴S_△AEP=S_△AEQ+S_△PEQ
=

EQ•AD+

EQ•CP
=

EQ（AD+CP）
=

EQ（BC+CP）
=

EQ•BP
=

×2ED•BP
=12．
∴△AEP的面积为12．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余等知识．本题在解决问题的过程中，用已有的经验得到角相等，用割补法和整体思想求出三角形的面积，综合性强，有一定的难度．而由平行线（矩形的性质）、角平分线（结论）联想到构造等腰三角形是解决第二小题的关键．