Question

如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，PA=2cm，PC=1cm，则图中阴影部分的面积S是（　　）

• A、

  5 3 -π

  2

  cm2
• B、

  5 3 -π

  4

  cm2
• C、

  5 3 -2π

  4

  cm2
• D、

  2 3 -π

  2

  cm2

Answer 1

分析：连AC，OC，由PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，得到∠PAB=90°，∠ACB=90°，易得Rt△PAC∽Rt△PBA，于是PA²=PC•PB，而PB=4，所以∠B=30°，AB=2

3

cm，三角形OAC为等边三角形．S_阴影部分=S_△PAC-S_弓形AC=S_△PAC-（S_扇形OAC-S_△OAC），分别运用扇形的面积公式和三角形的面积公式进行计算即可．

解答：解：连AC，OC，如图，
∵PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，∠ACB=90°，
∴Rt△PAC∽Rt△PBA，
∴PA²=PC•PB，
而PA=2cm，PC=1cm，
∴PB=4，
∴∠B=30°，AB=2

3

cm，
∴∠AOC=60°，AC=OA=

3

cm，
∴S_阴影部分=S_△PAC-S_弓形AC，
=S_△PAC-（S_扇形OAC-S_△OAC），
=

1

2

×

3

×1-

60π×( 3 )2

360

+

3

4

×（

3

）²，
=

5 3 -2π

4

cm²．
故选C．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了切线的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．