Question

20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足AC=DC=DE=BE=1，则tanA=$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠B的度数，证明△ECD是等腰直角三角形，则EC的长度即可求得，则∠A的正切值即可求解．

解答 解：设∠B=x°，
∵BE=DE，
∴∠B=∠BDE=x°，
∴∠CED=2x°，
又∵DE=DC，
∴∠ECD=∠CED=2x°．
∴∠DCA=∠ACB-∠ECD=90°-2x°．
∵直角△ABC中，∠A=90°-∠A=90°-x°．
又∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A=90°-x°．
∵△ACD中，∠ACD+∠A+∠ADC=180°，
∴（90-2x）+2（90-x）=180°，
解得x=22.5°，则∠CED=∠ECD=45°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴EC=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$+1，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案是：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了等腰三角形的性质以及正切函数的在求值，正确证明△ECD是等腰直角三角形是关键．