题目内容
如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α，（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）平行四边形APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC的中点，连接FP，过点E的射线EM、EN分别交BA、FP延长线于点M、N，且∠MEN=∠AEP．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）平行四边形APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC的中点，连接FP，过点E的射线EM、EN分别交BA、FP延长线于点M、N，且∠MEN=∠AEP．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）由AB=BC就可以得出∠BAC=∠BCA，有∠ABC=∠AEP，就可以得出△AEP∽△ABC，就可以得出∠APE=∠ACB，进而得出结论；
（2）由∠EAP=∠EPA就可以得出AE=PE，由平行四边形的性质就可以得出AC=PD，就可以得出结论；
（3）由矩形的性质就可以得出PE=CE，∠CPB=90°，得出∠EPC=∠ECP，F为BC的中点就可以得出CF=PF，得出∠CPF=∠PCF，就可以得出∠EPF=∠ECF，得出∠EPF=∠EAP，就得出∠EPN=∠EAM，由∠MEN=∠AEP就可以得出∠PEN=∠AEM，得出△PEN≌△AEM，从而得出EN=EM．
（2）由∠EAP=∠EPA就可以得出AE=PE，由平行四边形的性质就可以得出AC=PD，就可以得出结论；
（3）由矩形的性质就可以得出PE=CE，∠CPB=90°，得出∠EPC=∠ECP，F为BC的中点就可以得出CF=PF，得出∠CPF=∠PCF，就可以得出∠EPF=∠ECF，得出∠EPF=∠EAP，就得出∠EPN=∠EAM，由∠MEN=∠AEP就可以得出∠PEN=∠AEM，得出△PEN≌△AEM，从而得出EN=EM．
解答：解：（1）证明：如图1，∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
在△AEP和△ABC中
，
∴△AEP∽△ABC
∴∠APE=∠ACB，
∴∠APE=∠BAC，
即∠EAP=∠EPA；
（2）平行四边形APCD是矩形
理由：如图1，∵∠EAP=∠EPA，
∴AE=PE，
∴2AE=2PE．
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2AE，PD=2PE，
∴AC=PD．
∴平行四边形APCD是矩形；
（3）EM=EN．
理由：如图2，∵四边形APCD是矩形，
∴PE=CE，∠CPB=90°，
∴∠EPC=∠ECP，∠CPB=90°．
∵F为BC的中点，
∴CF=PF=
BC，
∴∠CPF=∠PCF，
∴∠CPF+∠EPC=∠PCF+∠ECP，
∴∠EPF=∠ECF，
∴∠EPF=∠EAP，
∴∠EPN=∠EAM．
∵∠MEN=∠AEP，
∴∠MEN-∠AEN=∠AEP-∠AEN，
∴∠AEM=∠PEN．
在△PEN和△AEM中
，
∴△PEN≌△AEM（ASA），
∴EN=EM．
∴∠BAC=∠BCA．
在△AEP和△ABC中
|
∴△AEP∽△ABC
∴∠APE=∠ACB，
∴∠APE=∠BAC，
即∠EAP=∠EPA；
（2）平行四边形APCD是矩形
理由：如图1，∵∠EAP=∠EPA，
∴AE=PE，
∴2AE=2PE．
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2AE，PD=2PE，
∴AC=PD．
∴平行四边形APCD是矩形；
（3）EM=EN．
理由：如图2，∵四边形APCD是矩形，
∴PE=CE，∠CPB=90°，
∴∠EPC=∠ECP，∠CPB=90°．
∵F为BC的中点，
∴CF=PF=
| 1 |
| 2 |
∴∠CPF=∠PCF，
∴∠CPF+∠EPC=∠PCF+∠ECP，
∴∠EPF=∠ECF，
∴∠EPF=∠EAP，
∴∠EPN=∠EAM．
∵∠MEN=∠AEP，
∴∠MEN-∠AEN=∠AEP-∠AEN，
∴∠AEM=∠PEN．
在△PEN和△AEM中
|
∴△PEN≌△AEM（ASA），
∴EN=EM．
点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质额运用，解答时运用矩形的性质求解是关键．
练习册系列答案
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