Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠BCD
（1）BE与DF平行吗？请说明理由．
（2）若（1）中“∠A=∠C=90°”改为∠A=∠C，上述结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

考点：平行线的判定

专题：常规题型

分析：（1）由∠A=∠C=90°，根据四边形内角和得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线定义得∠EBC=

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∠ABC，∠FDC=

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∠ADC，则∠EBC+∠FDC=90°，而∠DFC+∠FDC=90°，所以∠EBC=∠DFC，然后根据平行线的判定方法即可得到BE∥DF；
（2）结论成立．理由如下：
根据四边形内角和得∠ABC+∠ADC=360°-2∠C，再根据角平分线定义得∠EBC=

1

2

∠ABC，∠FDC=

1

2

∠ADC，则∠EBC+∠FDC=180°-∠C，即∠EBC=180°-∠C-∠DFC，
而∠DFC=180°-∠FDC-∠C，所以∠EBC=∠DFC，然后根据平行线的判定方法即可得到BE∥DF．

解答：解：（1）BE与DF平行．理由如下：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠BCD，
∴∠EBC=

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2

∠ABC，∠FDC=

1

2

∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC=90°，
而∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EBC=∠DFC，
∴BE∥DF；
（2）结论成立．理由如下：
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠ADC=360°-2∠C，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠BCD，
∴∠EBC=

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2

∠ABC，∠FDC=

1

2

∠ADC，
∴∠EBC+∠FDC=

1

2

（360°-∠A-∠C）=180°-∠C，
∴∠EBC=180°-∠C-∠DFC，
而∠DFC=180°-∠FDC-∠C，
∴∠EBC=∠DFC，
∴BE∥DF．

点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．