Question

7．一透明的敞口正方体容器ABCD-A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE=α，如图所示）．
探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是平行，BQ的长是3dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S_△BCQ×高AB）；
（3）求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数．（注：sin37°=$\frac{3}{5}$，tan37°=$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长；
（2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；
（3）求出∠BCQ的正切值即可得到其度数．

解答 解：（1）CQ∥BE，BQ=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3dm；
故答案为：平行，3；

（2）V_液=$\frac{1}{2}$×3×4×4=24（dm³）；

（3）过点B作BF⊥CQ，垂足为F，
∵$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×BF，
∴BF=$\frac{5}{12}$，
∴液面到桌面的高度$\frac{5}{12}$；
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=$\frac{3}{4}$，
∴α=∠BCQ=37°．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握四边形的体积计算以及对三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键．