Question

如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若

1

CE

+

1

BF

=6，则△ABC的边长为（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  1

  4

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

分析：过点A作直线PQ∥BC，延长BE交PQ于点P；延长CF，交PQ于点Q．证明△BCE∽△PAE，△CBF∽△QAF，
构造

1

CE

+

1

BF

与BC的关系求解．

解答：解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．
∵PQ∥BC，
∴△PQD∽△BCD，
∵点D在△ABC的中位线上，
∴△PQD与△BCD的高相等，
∴△PQD≌△BCD，
∴PQ=BC，
∵AE=AC-CE，AF=AB-BF，
在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，
∴△BCE∽△PAE，

AE

CE

=

AP

BC

…①
同理：△CBF∽△QAF，

AF

BF

=

AQ

BC

…②
①+②，得：

AC-CE

CE

+

AB-BF

BF

=

AP+AQ

BC

．
∴

AC

CE

+

AB

BF

=3，
又∵

1

CE

+

1

BF

=6，AC=AB，
∴△ABC的边长=

1

2

．
故选C．

点评：本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相似的知识，解题的关键是作平行线构造相似，从而得到已知与所求线段的关系．