Question

9．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，$AC=5\sqrt{3}$，∠A=30°
（1）求AD和BC； 
（2）求sin∠C．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$AB=3，AD=$\sqrt{3}$BD=3$\sqrt{3}$；
（2）先求出CD=AC-AD=2$\sqrt{3}$，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{21}$，再根据三角函数的定义即可求出sin∠C的值．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=6，∠A=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，AD=$\sqrt{3}$BD=3$\sqrt{3}$；

（2）∵$AC=5\sqrt{3}$，AD=3$\sqrt{3}$，
∴CD=AC-AD=2$\sqrt{3}$．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，BD=3，CD=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴sin∠C=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握含30°角的直角三角形的三边关系可使计算简便．