题目内容
如图，在正方形ABCD中，已知CE=CF，CP⊥DE于点P，求证：PA⊥PF．考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：由条件易证Rt△PCD∽Rt△CED，可得
=
，结合条件CE=CF，CD=DA，所以有
=
，且易得∠PCD=∠PDA，所以可证得△PCF∽△PDA，可知∠CPF=∠DPA，则结论易证．
| PC |
| CE |
| PD |
| CD |
| PC |
| CF |
| PD |
| AD |
解答：证明：在Rt△CDE中，CP⊥DE
∴∠CPD=∠ECD=90°，且∠EDC为公共角，
∴Rt△PCD∽Rt△CED，
∴
=
，
∵CE=CF，CD=AD，
∴
=
，
∵∠PCD+∠CDE=90°，∠PDA+∠CDE=90°，
∴∠PCD=∠PDA，
∴△PCF∽△PDA，
∴∠CPF=∠DPA，
且∠CPF+∠FPD=90°，∠DPA+∠FPD=90°，
∴PA⊥PF．
∴∠CPD=∠ECD=90°，且∠EDC为公共角，
∴Rt△PCD∽Rt△CED，
∴
| PC |
| CE |
| PD |
| CD |
∵CE=CF，CD=AD，
∴
| PC |
| CF |
| PD |
| AD |
∵∠PCD+∠CDE=90°，∠PDA+∠CDE=90°，
∴∠PCD=∠PDA，
∴△PCF∽△PDA，
∴∠CPF=∠DPA，
且∠CPF+∠FPD=90°，∠DPA+∠FPD=90°，
∴PA⊥PF．
点评：本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质的应用，解题的关键是证得
=
．
| PC |
| CF |
| PD |
| AD |
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