Question

14．已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，如果将直线绕着点A按顺时针方向旋转90°，并与y轴交于点C．
（1）求旋转后的直线解析式；
（2）两条直线与坐标轴围成的△ABC的面积．

Answer 1

分析 先确定A点坐标为（-4，0），再确定OA绕点P（-1，0）顺时针方向旋转90°得到对应点A′的坐标为（-1，3），由于两直线垂直时它们的一次项系数互为负倒数，得到旋转后的直线解析式y=-2x+b，然后把A′（-1，3）代入求出b即可．

解答 解：（1）由线y=-$\frac{3}{4}$x+3可知A点坐标为（4，0），B（0，3），
设旋转后的直线解析式y=kx+b，
则k•（-$\frac{3}{4}$）=-1，
解得k=$\frac{4}{3}$，
故y=$\frac{4}{3}$x+b，
把A（4，0）代入得0=$\frac{16}{3}$+b，解得b=-$\frac{16}{3}$，
故旋转后的直线解析式y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$．
（2）由y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$可知C（0，-$\frac{16}{3}$），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•OA=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{16}{3}$）×4=$\frac{50}{3}$．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．