如图1.在正方形ABCD的外侧.作两个等边三角形ADE和DCF.连接AF.BE．(1)请判断:AF与BE的数量关系是相等.位置关系是互相垂直,(2)如图2.若将条件“两个等边三角形ADE和DCF 变为“两个等腰三角形ADE和DCF.且EA=ED=FD=FC .第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予说明,(3)若三角形ADE和DCF为一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．
（1）请判断：AF与BE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．

分析（1）易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE．
（2）证明△ADE≌△DCF，然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°，从而求证；
（3）与（2）的解法完全相同．

解答解：（1）AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE．
答案是：相等，互相垂直；
（2）结论仍然成立．
理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，
∴在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AD=CD}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴在△ABE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=90°，
∴BE⊥AF；
（3）第（1）问中的结论都能成立．
理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，
∴在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AD=CD}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴在△ABE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=90°，
∴BE⊥AF．