Question

已知，如图，抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．

解答：解：（1）∵B（1，0），
∴OB=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，-3）；（1分）
∵y=ax²+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），
∴

c=-3 a+3a+c=0

；
解这个方程组，得

a= 3 4 c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=

3

4

x²+

9

4

x-3；

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y=

3

4

x²+

9

4

x-3中，令y=0，
得方程

3

4

x²+

9

4

x-3=0解这个方程，得x₁=-4，x₂=1
∴A（-4，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴

-4k+b=0 b=-3

，
解这个方程组，得

k=- 3 4 b=-3

，
∴AC的解析式为：y=-

3

4

x-3，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC
=

15

2

+

1

2

•DM•（AN+ON）
=

15

2

+2•DM
设D（x，

3

4

x²+

9

4

x-3），M（x，-

3

4

x-3），DM=-

3

4

x-3-（

3

4

x²+

9

4

x-3）=-

3

4

（x+2）²+3，
当x=-2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值

27

2

．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．