Question

14．若直线y=2x+t-3与函数y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥1）}\\{{x}^{2}+2x-3（x＜1）}\end{array}\right.$的图象有且只有两个公共点时，则t的取值范围是t=0或t＞1．

Answer 1

分析 画出函数图象，利用图象分两种情形讨论即可．

解答 解：函数y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥1）}\\{{x}^{2}+2x-3（x＜1）}\end{array}\right.$的图象如图所示，A（1，0）．

当直线y=2x+t-3经过点A（1，0）时，直线与函数y的图象有3个交点，此时0=2+t-3，解得t=1，
观察图象可知，t＞1时，直线y=2x+t-3与函数y的图象有且只有两个公共点，
当直线y=2x+t-3与y=x²-2x+1相切时，则有x²-4x-t+4=0，
∵△=0，
∴16-4t-16=0，
∴t=0，
此时直线为y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴直线与y=x²+2x-3只有一个交点，
∴t=0时，直线y=2x-3与函数y有两个交点，
综上所述，t＞1或t=0时，直线y=2x+t-3与函数y的图象有且只有两个公共点．
故答案为t=0或t＞1．

点评 本题考查二次函数的应用．一次函数的应用等知识，二元二次方组，根的判别式等知识，解题的关键是学会正确画出图象，利用图象法解决问题，属于中考常考题型．