Question

九年级上册的教材第118页有这样一道习题：

“在一块三角形余料ABC中，它的边BC=120mm，高线AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm？”

（1）请你解答上题；

（2）若将上题图中的正方形PQMN改为矩形，其余条件不变，求矩形PQMN的面积S的最大值；

（3）我们把上面习题中的正方形PQMN叫做“BC边上的△ABC的内接正方形”，若在习题的条件下，又知AB=150mm，AC=100mm，请分别写出AB边上的△ABC的内接正方形的边长和AC边上的△ABC的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写出答案即可，结果精确到1mm）；

（4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为a，b，c，各边上的高分别为h_a，h_b，h_c，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出a与h_a必须满足的条件（不必写出过程）．                                          

Answer 1

解：（1）设正方形的边长为xmm，由条件可得△APN∽△ABC，

∴，即，解得x=48mm．                              （4分）

（2）设PN= xmm，由条件可得△APN∽△ABC，

∴，即，解得PQ=．

∴S=PN·PQ=，

∴S的最大值为2400mm²．                                                （4分）

（3）； mm                                           （2分）

（4）a+h_a<b+h_b且a+h_a < c+h_c．                                            （2分）