Question

18．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠DAB，AD与过点C的直线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）连接BE交AC于点F，若$\frac{AF}{CE}$=$\frac{1}{2}$，求cos∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC．只要证明AD∥OC，由AD⊥CD，即可推出OC⊥CD．
（2）如图2中，连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．由△CDE∽△AEF，推出$\frac{DE}{EF}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{EC}{AF}$=2，设AE=a，EF=b，则CD=2a，DE=CH=2b，FH=2a-b，由AE∥CH，推出$\frac{AE}{CH}$=$\frac{EF}{FH}$，可得$\frac{a}{2b}$=$\frac{b}{2a-b}$，求出a与b的关系，在Rt△AEF中，求出CF，AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：如图2中，连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．

∵AB是直径，
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴∠EHC=90°即OC⊥EB，
∴DC=EH=HB，DE=HC，
∵∠DCE=∠DAC，∠D=∠AEF=90°，
∴△CDE∽△AEF，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{EC}{AF}$=2，设AE=a，EF=b，则CD=2a，DE=CH=2b，FH=2a-b，
∵AE∥CH，
∴$\frac{AE}{CH}$=$\frac{EF}{FH}$，
∴$\frac{a}{2b}$=$\frac{b}{2a-b}$，
∴2a²-ab-2b²=0，
∴a=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$b或$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$b（舍弃），
在Rt△AEF中，AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{34+2\sqrt{34}}}{4}$b，
∴cos∠CAD=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\frac{1+\sqrt{17}}{4}b}{\frac{\sqrt{34+2\sqrt{34}}}{4}b}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{\sqrt{34+2\sqrt{34}}}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，解此题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，题目比较难，有一定的难度．