Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D、E为BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2$\sqrt{3}$，则DE=3；
②当∠B=45°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

Answer 1

分析 （1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明∠ODE=90°即可解决问题；
（2）①直接利用锐角三角函数关系得出BC的长，再利用直角三角形的性质得出DE的长；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD．
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵E为BC边的中点，
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：①∵∠B=30°，AC=2$\sqrt{3}$，∠BCA=90°，
∴tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：BC=6，
则DE=$\frac{1}{2}$BC=3；
故答案为：3；

②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．

点评 本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．