Question

（1）如图1，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为直径，C为

AB

的中点，弦CD⊥PA于点E，写出AB与AC的数量关系，并证明
（2）如图2，PA、PB是⊙O的两条弦，AB为弦，C为劣弧

AB

的中点，弦CD⊥PA于E，写出AE、PE与PB的数量关系，并证明

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：探究型

分析：（1）根据圆周角定理和勾股定理得到AB=

2

AC；
（2）在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，由

AC

=

BC

得到AC=BC，再证明△CAF≌△CBP，得到CF=CP，由于弦CD⊥PA于E，根据等腰三角形的性质得EF=EP，于是有AE=PB+PE．

解答：解：（1）AB=

2

AC．理由如下：
∵AB为直径，C为

AB

的中点，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AC；

（2）AE=PB+PE．理由如下：
在AE上截取AF=BP，连结AC、BC、FC、PC，如图2，
∵C为劣弧

AB

的中点，即

AC

=

BC

，
∴AC=BC，
在△CAF和△CBP中

AC=BC ∠CAF=∠CBP AF=BP

，
∴△CAF≌△CBP，
∴CF=CP，
∵弦CD⊥PA于E，
∴EF=EP，
∴AE=AF+EF=PB+PE．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了全等三角形的判定与性质．