Question

3．如图，直线l：y=-x+1交y轴于C，点P为直线l上一点，以P为顶点的抛物线过点C，且点P的横坐标为-2．
（1）P点坐标为（-2，3），抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+1．
（2）过线段PC上一动点D作直线AB∥x轴交抛物线于点A、B（A在B的右侧）．
①若PD=$\sqrt{2}$AD，求点D的坐标．
②过C作CQ∥x轴交抛物线另一点Q，BE⊥CQ于E，连PE交AB于F，连PA，求证：PA²=PE•PF．

Answer 1

分析 （1）根据点P在直线y=-x+1上，可得点P坐标，根据顶点式可以求出抛物线的解析式．
（2）①首先证明如图1中，作PM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，PC的延长线交x轴于G．PM交AB于H，首先证明HD=AD，设D（m，-m+1），根据A点与D点的纵坐标相等列出方程即可解决问题．
②如图2中，作PG⊥CE于G，PN⊥EB于N．首先证明△PNB∽△PGE，再证明△PBF∽△PEB，即可解决问题．

解答 解：（1）当x=-2时，y=3，
∴点P的坐标为（-2，3）；
当x=0时，y=1，
∴点C的坐标为（0，1）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+3，
将点C（0，1）代入y=a（x+2）²+3中，
得：1=4a+3，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+3=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+1．
故答案为：（-2，3）；y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+1．

（2）①如图1中，作PM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，PC的延长线交x轴于G．PM交AB于H，

∵P（-2，3），C（0，1），G（1，0），
∴OC=OG，
∴∠PGM=45°，PG=3$\sqrt{2}$，PM=3，
∵PD=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$HD，
∴HD=DA，设D（m，-m+1），则A[2m+2，-$\frac{1}{2}$（2m+2）²-2（2m+2）+1]，
∴-m+1=-$\frac{1}{2}$（2m+2）²-2（2m+2）+1，
解得m=-$\frac{3}{2}$或-2（舍弃），
∴点D坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

②如图2中，作PG⊥CE于G，PN⊥EB于N．

设B（m，-$\frac{1}{2}$m²-2m+1），则E（m，1），N（m，3），
∴EG=PN=m+2，BN=3-（-$\frac{1}{2}$m²-2m+1）=$\frac{1}{2}$（m+2）²，
∵$\frac{BN}{EG}$=$\frac{\frac{1}{2}（m+2）^{2}}{（m+2）}$=$\frac{m+2}{2}$，$\frac{PN}{PG}$=$\frac{m+2}{2}$，
∴$\frac{BN}{EG}$=$\frac{PN}{PG}$，∵∠PNB=∠PGE=90°，
∴△PNB∽△PGE，
∴∠NPB=∠EPG，
∵PN∥AB，PG∥NE，
∴∠PBF=∠NPB，∠PEB=∠EPG，
∴∠PBF=∠PEB，∵∠BPF=∠EPB，
∴△PBF∽△PEB，
∴$\frac{PB}{PE}$=$\frac{PF}{PB}$，
∴PB²=PE•PF，
根据对称性可知PA=PB，
∴PA²=PE•PF．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造相似三角形解决问题，是数形结合的好题目，属于中考压轴题．