Question

20．已知关于x的一元二次方程（k-1）x²+2kx+2=0．
（1）判断该方程实数根的情况；
（2）设x₁，x₂是该方程的两个实数根，记$S=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{x}_{1}+{x}_{2}$，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4（k-1）²+4＞0，由此即可得出：无论k（k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可得x₁+x₂=-$\frac{2k}{k-1}$、x₁•x₂=$\frac{2}{k-1}$，由此可得出$S=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{x}_{1}+{x}_{2}$=2k-2，令s=2求出k值，结合k的取值范围即可得出结论．

解答 解：（1）在方程（k-1）x²+2kx+2=0中，△=（2k）²-8（k-1）=4（k-1）²+4＞0，
∴无论k（k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x₁，x₂是该方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k}{k-1}$，x₁•x₂=$\frac{2}{k-1}$，
∴$S=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{x}_{1}+{x}_{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$+x₁+x₂=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2+x₁+x₂=2k-2．
当s=2k-2=2时，k=2，
∵k≠1，
∴k=2符合要求，
∴S的值能为2，此时k的值为2．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）由根与系数的关系找出s=2k-2．