Question

8．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点F在AC的中点，点D为BC边上一点，连接DF，∠BFD=2∠ABF．
求证：（1）∠AFB=∠CFD     （2）∠ADB=∠FDC      （3）AD⊥BF．

Answer 1

分析 （1）如图，取BF的中点N，连接AN．首先证明∠ANF=∠BFD，推出AN∥DF，推出∠DFC=∠NAF，由∠NAF=∠NFA即可证明．
（2）作AM⊥BC于M交BF于G．先证明△CFD≌△AFG，再证明△ABG≌△ACD，推出∠FDC=∠AGF，∠CAD=∠ABF，只要证明∠AGF=∠ADB即可解决问题．
（3）由2可知，∠ABF=∠CAD，由∠CAD+∠BAD=90°，推出∠ABF+∠BAD=90°，即∠AEB=90°，由此即可解决问题．

解答 证明：（1）如图，取BF的中点N，连接AN．
∵∠BAF=90°，BN=NF，
∴AN=BN=NF，
∴∠NBA=∠NAB，∠AFN=∠NAF，
∴∠ANF=∠NBA+∠NAB=2∠NBA，
∵∠BFD=2∠ABN，
∴∠ANF=∠BFD，
∴AN∥DF，
∴∠DFC=∠NAF=∠AFB．

（2）作AM⊥BC于M交BF于G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAM=∠CAM=∠C=45°，
∵AF=FC，∠AFG=∠DFC，
∴△CFD≌△AFG，
∴AG=DC，
∵AB=AC，∠BAG=∠C，
∴△BAG≌△ACD，
∴∠ABG=∠CAD，∠AGF=∠FDC，
∵∠AGF=∠ABF+∠BAG=∠ABF+45°，∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+45°，
∴∠ADB=∠AGF=∠FDC．

（3）由2可知，∠ABF=∠CAD，
∵∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠BAD=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AD⊥BF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．