题目内容

如图，二次函数y=
4
3
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=
4
3
x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．
（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．
解答：解：（1）∵二次函数y=
4
3
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），
∴
0=
4
3
•9+3b+c
0=
4
3
•1-b+c
，
解得
b=-
8
3
c=-4
，
∴y=
4
3
x2-
8
3
x-4．
∴C（0，-4）．

（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，

∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=
32+42
=5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴
QD
OC
=
AD
AO
=
AQ
AC
，
∴
QD
4
=
AD
3
=
4
5
，
∴QD=
16
5
，AD=
12
5
．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=
12
5
-x，
∴在Rt△EDQ中，（
12
5
-x）2+（
16
5
）2=x2，解得 x=
10
3
，
∴OA-AE=3-
10
3
=-
1
3
，
∴E（-
1
3
，0）．
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=
12
5
，
∴AE=
24
5
，
∴OA-AE=3-
24
5
=-
9
5
，
∴E（-
9
5
，0）．
③当AE=AQ=4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA-AE=3-4=-1，
∴E（-1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-
1
3
，0）或（-
9
5
，0）或（-1，0）或（7，0）．

（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-
5
8
，-
29
16
）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴
AF
AO
=
FQ
OC
=
AQ
AC
，
∴
AF
3
=
FQ
4
=
t
5
，
∴AF=
3
5
t，FQ=
4
5
t，
∴Q（3-
3
5
t，-
4
5
t），
∵DQ=AP=t，
∴D（3-
3
5
t-t，-
4
5
t），
∵D在二次函数y=
4
3
x2-
8
3
x-4上，
∴-
4
5
t=
4
3
（3-
8
5
t）2-
8
3
（3-
8
5
t）-4，
∴t=
145
64
，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（-
5
8
，-
29
16
）．
点评：本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．
练习册系列答案
相关题目
如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为2
3
；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在
BC
上，则AD=2
5
；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16
3
．其中正确结论的序号是
 
．
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形--筝形．所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点
如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；
（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：
①顶点都在格点上；
②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；
③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．
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（1）求∠P的度数；
（2）若PA=6，求BC的长．（精确到0.1）
某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．
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1
a+1
）÷
a3
a2+2a+1
的值．
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2
；
（1）在图①中画以AB为边的一个等腰△ABC，使点C在格点中，且另两边的长都是无理数；
（2）在图②中画以AB为边的一个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．
从-1，1，-2，2四个数中任取一个数，将它作为一次函数y=kx+1的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是
 
．

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