题目内容
如图，二次函数y=| 4 |
| 3 |
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=
x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．
（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．
| 4 |
| 3 |
（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．
（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．
解答：解：（1）∵二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），
∴
，
解得
，
∴y=
x2-
x-4．
∴C（0，-4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=
=5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴QD=
，AD=
．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=
-x，
∴在Rt△EDQ中，（
-x）2+（
）2=x2，解得 x=
，
∴OA-AE=3-
=-
，
∴E（-
，0）．
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=
，
∴AE=
，
∴OA-AE=3-
=-
，
∴E（-
，0）．
③当AE=AQ=4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA-AE=3-4=-1，
∴E（-1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-
，0）或（-
，0）或（-1，0）或（7，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-
，-
）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴AF=
t，FQ=
t，
∴Q（3-
t，-
t），
∵DQ=AP=t，
∴D（3-
t-t，-
t），
∵D在二次函数y=
x2-
x-4上，
∴-
t=
（3-
t）2-
（3-
t）-4，
∴t=
，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（-
，-
）．
| 4 |
| 3 |
∴
|
解得
|
∴y=
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴C（0，-4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=
| 32+42 |
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴
| QD |
| OC |
| AD |
| AO |
| AQ |
| AC |
∴
| QD |
| 4 |
| AD |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
∴QD=
| 16 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=
| 12 |
| 5 |
∴在Rt△EDQ中，（
| 12 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| 10 |
| 3 |
∴OA-AE=3-
| 10 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴E（-
| 1 |
| 3 |
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=
| 12 |
| 5 |
∴AE=
| 24 |
| 5 |
∴OA-AE=3-
| 24 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴E（-
| 9 |
| 5 |
③当AE=AQ=4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA-AE=3-4=-1，
∴E（-1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-
| 1 |
| 3 |
| 9 |
| 5 |
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-
| 5 |
| 8 |
| 29 |
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如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴
| AF |
| AO |
| FQ |
| OC |
| AQ |
| AC |
∴
| AF |
| 3 |
| FQ |
| 4 |
| t |
| 5 |
∴AF=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴Q（3-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵DQ=AP=t，
∴D（3-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵D在二次函数y=
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴-
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 5 |
∴t=
| 145 |
| 64 |
∴D（-
| 5 |
| 8 |
| 29 |
| 16 |
点评：本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．
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