Question

如图，一次函数y=-

3

3

x+2

3

的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，以M（1，0）为圆心的⊙M与y轴相切，点M以每秒2个单位的速度从（1，0）向x轴正方向运动，同时⊙M的半径以每秒

1

2

个单位的速度扩大，当M运动了

 

秒时，⊙M与直线AB只有一个公共点．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,坐标与图形性质

专题：

分析：M可能在OA上，也可能在OA的延长线上，因而分两种情况进行讨论，作M₁C⊥AB于点C．则△AM₁C∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到一个关于t的方程，求得t的值．

解答：解：在y=-

3

3

x+2

3

中，令x=0，则y=2

3

，即B的坐标是（0，2

3

），则OB=2

3

；
令y=0，在y=-

3

3

x+2

3

=0，解得：x=6，则A的坐标是（6，0），则OA=6．
在直角△OAB中，AB=

OA2+OB2

=4

3

．
当M在线段OA上时，如图（1）：
作M₁C⊥AB于点C．则△AM₁C∽△ABO，
则

AM1

AB

=

M1C

OB

，即

1+ 1 2 t

2 3

=

3-2t

4 3

，
解得：t=1s；
当P在OA的延长线上时：如图（2）
同理作M₂D⊥AB于点D．则△AM₂D∽△ABO，
则

AM2

AB

=

M2D

OB

，
则

2t+1-6

4 3

=

1+ 1 2 t

2 3

，
解得：t=7s．
故答案是：1或7．

点评：本题考查了一次函数与相似三角形及直线与圆的位置关系，以及切线的性质的综合应用，正确进行讨论是关键．