Question

将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，

并加以证明。

Answer 1

附加题：

证法一：如图，延长DM到N，

使MN=MD，连结FD、FN、EN，

延长EN与DC延长线交于点H。

∵MA=ME，∠1＝∠2，MD=MN，

∴△AMD≌△EMN

∴∠3＝∠4，AD=NE。

又∵正方形ABCD、CGEF，

∴CF=EF，AD=DC，∠ADC＝90°，

∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG＝90°。

∴DC=NE。

∵∠3＝∠4，∴AD∥EH。∴∠H＝∠ADC＝90°。

∵∠G＝90°，∠5＝∠6，∴∠7＝∠8。

∵∠7＋∠DCF＝∠8＋∠FEN＝90°

∴∠DCF＝∠FEN。

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°。

∴FM⊥MD，MF=MD。

证法二：如图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN。

∴∠ADC=∠H，∠3＝∠4。∵AM=ME，∠1＝∠2，

∴△AMD≌△EMN

∴DM=NM，AD=EN。

∵正方形ABCD、CGEF，

∴AD=DC，FC=FE，∠ADC＝∠FCG＝∠CFE＝90°，CGFE。

∴∠H＝90°，∠5=∠NEF，DC=NE。

∴∠DCF＋∠7＝∠5＋∠7＝90°

∴∠DCF＝∠5＝∠NEF。

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF。

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE。∵∠CFE=90°，∴∠DFN＝90°。

∴FM⊥MD，MF=MD。