Question

如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°。

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径。

Answer 1

解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2。

在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．

∴OA===4．

又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．

∵AC⊥BD，∴=．

∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．

∴S_阴影==

法二：连结AD．           

∵AC⊥BD，AC是直径，

∴AC垂直平分BD。 

∴AB=AD，BF=FD，=。

∴∠BAD=2∠BAC=60°，

∴∠BOD=120°．     

∵BF=AB=2，sin60°=，

AF=AB?sin60°=4×=6。

∴OB²=BF²+OF²．即．

∴OB=4．            

∴S_阴影=S_圆=。 

法三：连结BC．

∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°。

∵AB=4，

∴

∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，

∴∠BOD=120°．

∴S_阴影=π?OA²=×4²?π=

以下同法一。

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，

∴

∴。