Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax²+4ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A、C的坐标分别为（-8，0）、（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点C的直线y=3x+c与x轴交于点D，若动点P从B点出发沿线段BA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C点出发沿线段CA匀速运动，问是否存在某一时刻，使点P与点Q关于直线CD对称？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由？
（3）在（2）的结论下，作直线PQ，在直线PQ上方有一点M，连接PM、QM，线段PM与线段AC交于点N，若∠PMQ=90°且PN²=NQ×NA，请求出点M的坐标，并判断点M是否存在（1）中的抛物线上．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知点的坐标利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）过点D作DL⊥AC，垂足为点L．连接PC、PQ，首先根据△ADL∽△ACO求得CL=4

5

-

4

3

5

=

8 5

3

=AL，然后根据△CPO∽△ACO求得CQ=PC=2

5

，进而求得t=PB=OB-OP=4-2=2，从而算出点Q的运动速度为

2 5

2

=

5

；
（3）首先根据△NPQ∽△NAP，得到

QM

PM

=

1

2

，然后过点M作直线l∥x轴，过点P、Q分别作PG⊥l、QH⊥l，垂足分别为点G、H．，进一步得到△QMH∽△MPG，从而求得点M的坐标为（-2，4），然后得到当x=-2时，y=-

1

8

×（-2）²-

1

2

×（-2）+4=

9

2

≠4，、判定点M不在（1）中的抛物线上．

解答：解：（1）依题意可得

4=a×(-8)2+4a×(-8)+c 4=a×02+4a×0+c

，
 解得

a=- 1 8 c=4

，
所求抛物线的解析式为y=-

1

8

x²-

1

2

x+4；

（2）如图1，可求D（-

4

3

，0）
过点D作DL⊥AC，垂足为点L．连接PC、PQ．
∵∠DAL=∠CAO∠ALD=∠AOC=90°，
∴△ADL∽△ACO，
∴

DL

4

=

AL

8

=

20 3

4 5

，
∴DL=

4

3

5

，
∴AL=

8

3

5

，
∴CL=4

5

-

4

3

5

=

8 5

3

=AL，
∴∠DCL=45°，
∴∠ACP=2∠DCL=90°，
由△CPO∽△ACO可得OP=2PC=2

5

，
∴CQ=PC=2

5

，
∴t=PB=OB-OP=4-2=2，
∴点Q的运动速度为

2 5

2

=

5

；

（3）如图2，由（2）可求 P（2，0），Q（-4，2），
∵PN2=NQ×NA，
∴

PN

NQ

=

NA

PN

，
又∵∠QNP=∠PNA，
∴△NPQ∽△NAP，
∴∠NPQ=∠NAP，
∴tan∠MPQ=tan∠CAO=

1

2

，
∴

QM

PM

=

1

2

，
过点M作直线l∥x轴，过点P、Q分别作PG⊥l、QH⊥l，垂足分别为点G、H．
∵∠QMH+∠PMG=90°，∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠QMH=∠MPG，
 又∵∠QHM=∠PGM=90°，
∴△QMH∽△MPG，
∴

QH

MG

=

HM

PG

=

QM

PM

=

1

2

，
∴MG=2QH，PG=2HM，
设点M的坐标为（m，n），
∴

2-m=2(n-2) n=2(m+4)

，
 解得

m=-2 n=4

，
∴点M的坐标为（-2，4），
 当x=-2时，y=-

1

8

×（-2）²-

1

2

×（-2）+4=

9

2

≠4，
∴点M不在（1）中的抛物线上．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中多次用到相似，甚至一个小题中用到两次相似，难度较大．