题目内容
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如图，抛物线y=ax2+bx+1与直线y=-ax+c相交于坐标轴上点A（-3，0），C（0，1）两点．（1）直线的表达式为y=$\frac{1}{3}$x+1；抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+1．
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．
分析 （1）把A、C坐标代入抛物线和直线解析式，可求得答案；
（2）可设出D点坐标，则可表示出F点坐标，从而可表示出DF的长，利用二次函数的性质可求得DF的最大值及D点的坐标；
（3）可设出P点坐标，则可表示出PN和ON的长，分△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP两种情况，根据相似三角形的性质可求得P点坐标．
解答 解：
（1）把A、C两点坐标代入直线y=-ax+c可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴直线的表达式为y=$\frac{1}{3}$x+1，
把A点坐标和a=-$\frac{1}{3}$代入抛物线解析式可得9×（-$\frac{1}{3}$）-3b+1=0，解得b=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+1，
故答案为：y=$\frac{1}{3}$x+1；y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+1；
（2）∵点D在抛物线在第二象限部分上的一点，
∴可设D（t，-$\frac{1}{3}$t2-$\frac{2}{3}$t+1），则F（t，$\frac{1}{3}$t+1），
∴DF=-$\frac{1}{3}$t2-$\frac{2}{3}$t+1-（$\frac{1}{3}$t+1）=-$\frac{1}{3}$t2-t=-$\frac{1}{3}$（t+$\frac{3}{2}$）2+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴当t=-$\frac{3}{2}$时，DF有最大值，最大值为$\frac{3}{4}$，此时D点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
（3）设P（m，-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m+1），如图2，
∵P在第四象限，
∴m＞0，-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m+1＜0，
∴AN=m+3，PN=$\frac{1}{3}$m2+$\frac{2}{3}$m-1，
∵∠AOC=∠ANP=90°，
∴当以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似时有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，
①当△AOC∽△PNA时，则有$\frac{OC}{AN}$=$\frac{AO}{PN}$，即$\frac{1}{m+3}$=$\frac{3}{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}m-1}$，
解得m=-3或m=10，经检验当m=-3时，m+3=0，
∴m=10，此时P点坐标为（10，-39）；
②当△AOC∽△ANP时，则有$\frac{OC}{PN}$=$\frac{AO}{AN}$，即$\frac{1}{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}m-1}$=$\frac{3}{m+3}$，
解得m=2或m=-3，经检验当m=-3时，m+3=0，
∴m=2，此时P点坐标为（2，-$\frac{5}{3}$）；
综上可知P点坐标为（10，-39）或（2，-$\frac{5}{3}$）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用D点坐标表示出DF的长是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PN和AN的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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