Question

如图，△ABC是等边三角形，F是BC中点，G是AF上任意的一点，D在BG延长线上，且AD=AC，AE平分∠CAD交BD于E．
（1）∠AEB的度数；
（2）如图，若BG=DE，求

AF

DE

的值．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出∠3+∠D+∠BAD=180°，进而得出答案；
（2）首先得出△ABE≌△ADG，进而得出∠4=∠AEB=60°，进而求出DE=BG=2GF，AG=BG=2GF，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AC，
∴AB=AD，
∴∠3=∠D，
∵AE平分∠CAD，
∴∠1=∠2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
设∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，
∵∠3+∠D+∠BAD=180°，
∴x+x+60+2y=180，
∴x+y=60，
∴∠AEB=∠1+∠D=x+y=60°；

（2）∵BG=DE，
∴BE=DG，
在△ABE和△ADG中，

AB=AD ∠3=∠D BE=DG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠4=∠AEB=60°，
∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，
∴∠AFB=90°，∠7=30°，
∵∠6=90°-∠5=30°，
∴DE=BG=2GF，
∵∠3=60°-∠6=30°=∠7，
∴AG=BG=2GF，
∴AF=AG+GF=3FG，
∴

AF

DE

=

3GF

2GF

=

3

2

．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，将AF，DE用FG表示得出是解题关键．