Question

（2012•抚顺一模）如图，A（0，4），B（2，0），C在x轴正半轴上，且∠OAB=∠OCA，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点．

（1）求C点坐标及抛物线的解析式；
（2）P为抛物线对称轴上一点，Q为抛物线上一点，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形，求P，Q两点的坐标；
（3）如图（2），将△ABC向左平移得△A′B′C′，BB′=t，△A′B′C′与△ABO重叠部分（阴影部分）面积为S，直接写出S与t的函数关系式．（0＜t＜8）

Answer 1

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据两组角对应相等，两三角形相似求出△AOB和△COA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，分①AC是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等分两种情况表示出点Q的横坐标，然后代入抛物线的解析式求出点Q的纵坐标再求出点P的纵坐标，即可得解；②AC是平行四边形的对角线时，设线段AC的中点为D，根据点A、C求出点D的坐标，根据平行四边形对角线互相平分求出点Q的横坐标，代入抛物线求出点Q的纵坐标，然后求出点P的纵坐标，即可得解；
（3）设AB与A′C′相交于点M，过点M作MN⊥x轴于N，利用勾股定理列式求出AC，再根据△MBC′和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出MC′，再利用锐角三角函数求出MN的长度，然后分0＜t＜6时，重叠部分为不规则四边形，6≤t＜8时，重叠部分为三角形，分别求解即可．

解答：解：（1）∵A（0，4），B（2，0），
∴OA=4，OB=2，
∵∠OAB=∠OCA，∠AOB=∠COA=90°，
∴△AOB∽△COA，
∴

AO

CO

=

OB

OA

，即

4

OC

=

2

4

，
∴OC=8，则C（8，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，
∴

c=4 4a+2b+c=0 64a+8b+c=0

，
解得

a= 1 4 b=- 5 2 c=4

，
∴该抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

5

2

x+4；

（2）∵y=

1

4

x²-

5

2

x+4=

1

4

（x-5）²-

9

4

，
∴抛物线对称轴为直线x=5，
∵点P在对称轴上，
∴①AC是平行四边形的边，点Q在对称轴左边时，横坐标为5-8=-3，
代入抛物线得，y=

1

4

×（-3）²-

5

2

×（-3）+4=

55

4

，
点P的纵坐标为：

55

4

-4=

39

4

，
∴点P（5，

39

4

），Q（-3，

55

4

）；
点Q在对称轴右边时，横坐标为5+8=13，
代入抛物线得，y=

1

4

×13²-

5

2

×13+4=

55

4

，
点P的纵坐标为：

55

4

+4=

71

4

，
∴点P（5，

71

4

），Q（13，

55

4

）；

②AC为平行四边形的对角线时，设线段AC的中点为D，
∵A（0，4），C（8，0），
∴点D（4，2），
∴点Q的横坐标为2×4-5=3，
代入抛物线得，y=

1

4

×3²-

5

2

×3+4=-

5

4

，
点P的纵坐标为：2×2-（-

5

4

）=

21

4

，
∴点P（5，

21

4

），Q（3，-

5

4

），
综上所述，点P（5，

39

4

），Q（-3，

55

4

）或P（5，

71

4

），Q（13，

55

4

）或P（5，

21

4

），Q（3，-

5

4

）时，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形；

（3）设AB与A′C′相交于点M，过点M作MN⊥x轴于N，
由勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

42+82

=4

5

，
∵BB′=t，
∴CC′=t，
又∵BC=OC-OB=8-2=6，
∴BC′=BC-CC′=6-t，
由平移得，A′C′∥AC，
∴△MBC′∽△ABC，
∴

MC′

AC

=

BC′

BC

，
即

MC′

4 5

=

6-t

6

，
解得MC′=

2 5 (6-t)

3

，
∵sin∠ACO=

OA

AC

=

MN

MC′

，
∴MN=

4

4 5

×

2 5 (6-t)

3

=

2(6-t)

3

，
①0＜t＜6时，重叠部分面积=

1

2

×（8-t）×[

1

2

（8-t）]-

1

2

（6-t）×

2(6-t)

3

，
=-

1

12

t²+4，
②6≤t＜8时，重叠部分面积=

1

2

×（8-t）×[

1

2

（8-t）]=

1

4

t²-4t+16，
综上所述，S=

- 1 12 t2+4(0＜t＜6) 1 4 t2-4t+16(6≤t＜8)

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析，平行四边形的性质，（2）根据平行四边形的性质分情况表示出点Q的横坐标是解题的关键，（3）难点在于求出A′C′与AB的交点到x轴的距离并分情况讨论．