Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF．
（1）求证：四边形ABED为平行四边形；
（2）试判断△ABF的形状，并说明理由；
（3）∠QCD=45°．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,直角梯形

专题：

分析：（1）根据梯形的性质，可得AD与BC的关系，根据中点的性质，可得BE与BC的关系，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BF与DE的关系，根据平行四边形的性质，可得AB与DE的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根据全等三角形的性质，可得∠FBC=∠EDC，再根据AAS，可得BPE≌△DPF，根据全等三角形的性质，可得BP与DP的关系，根据SSS，可得△BPC与△DPC的关系，根据全等三角形的对应角相等，可得∠BCP与∠DCP的关系，根据角的和差，可得答案．

解答：（1）证明：∵E是BC边的中点，
∴BC=2BE
∵BC=2AD，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形；
（2）△ABF为等腰三角形，理由是：
解：∵E、F分别是BC、CD边的中点，
∴EC=FC，
在△BCF和△DCE中，

CF=CE ∠BCF=∠ECD BC=CD

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF=ED，
∵四边形ABED为平行四边形，
∴AB=ED，
∴AB=BF，
∴△ABF为等腰三角形．
（3）解：∵△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，
在△BPE和△DPF中，

∠FBC=∠EDC ∠BPE=∠DPF BE=DF

，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，
在△BPC和△DPC中，

BP=DP PC=PC BC=CD

，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠QCD=∠BCP=

1

2

∠BCD=

1

2

×90°=45°．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．