Question

12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B=60°，AC=10，AD=8，S_△ADC=24，求S_△ABC．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥AD于点E，作CF⊥AB于点F，根据S_△ADC=24、AD=8求得CE=6，再根据AC平分∠DAB可得CE=CF=6，继而证Rt△ACD≌Rt△ACF可得AF=AE=8，在Rt△BCF中由BF=$\frac{CF}{tanB}$得BF的长，即可知AB，最后根据三角形面积公式可得答案．

解答 解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，作CF⊥AB于点F，

∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$×AD×CE=24，且AD=8，
∴CE=6，
又∵AC=10，
∴AE=8，
∴点D、E重合，
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF=6，
在Rt△ACD和Rt△ACF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AD=8，
在Rt△BCF中，∵∠B=60°，
∴BF=$\frac{CF}{tanB}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
则AB=AF+BF=8+2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（8+2$\sqrt{3}$）×6=24+6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形及三角形的面积公式，熟练掌握角平分线性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．