Question

15．如图，若BD、CD平分∠EBC、∠BCF，交点为D，求证：∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 根据三角形外角性质和三角形内角和定理得出∠EBC+∠FCB=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB=180°+∠A，根据角平分线定义求出∠DBC+∠DCB=90°+$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理求出即可．

解答 证明：∵∠EBC=∠ACB+∠A，∠FCB=∠ABC+∠A，
∴∠EBC+∠FCB=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB=180°+∠A，
∵∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠FCB，
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．