Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）²+|a-b+6|=0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,平行线的性质,三角形的面积

专题：计算题

分析：（1）根据非负数的性质得a+b=0，a-b+6=0，然后解方程组求出a和b即可得到点A和B的坐标；
（2）由AB∥DE得∠ODE+∠DFB=180°，意义∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，所以∠ODE+90°-∠FAO=180°，再根据角平分线定义得∠OAN=

1

2

∠FAO，∠NDM=

1

2

∠ODE，则∠NDM-∠OAN=45°，接着利用∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，得到∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，所以∠NDM+∠DNM=135°，然后根据三角形内角和定理得180°-∠NMD=135°，所以∠NMD=45°；
（3）①连结OB，如图3，
设F（0，t），根据△AOF的面积+△BOF的面积=△AOB的面积得到

1

2

•3•t+

1

2

•t•3=

1

2

•3•3，解得t=

3

2

，则可得到F点坐标为（0，

3

2

）；
②先计算△ABC的面积=

21

2

，分类讨论：当P点在y轴上时，设P（0，y），利用△ABP的三角形=△APF的面积+△BPF的面积得到

1

2

•|y-

3

2

|•3+

1

2

•|y-

3

2

|•3=

21

2

，解得y=10或y=-2，所以此时P点坐标为（0，5）或（0，-2）；当P点在x轴上时，设P（x，0），根据三角形面积公式得

1

2

•|x+3|•3=

21

2

，解得x=-10或x=4，所以此时P点坐标为（-10，0）或（4，0）．

解答：解：（1）∵（a+b）²+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（3，3）；
（2）如图2，
∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN=

1

2

∠FAO，∠NDM=

1

2

∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①连结OB，如图3，
设F（0，t），
∵△AOF的面积+△BOF的面积=△AOB的面积，
∴

1

2

•3•t+

1

2

•t•3=

1

2

•3•3，解得t=

3

2

，
∴F点坐标为（0，

3

2

）；
②存在．
△ABC的面积=

1

2

•7•3=

21

2

，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵△ABP的三角形=△APF的面积+△BPF的面积，
∴

1

2

•|y-

3

2

|•3+

1

2

•|y-

3

2

|•3=

21

2

，解得y=10或y=-2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，-2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
则

1

2

•|x+3|•3=

21

2

，解得x=-10或x=4，
∴此时P点坐标为（-10，0）或（4，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，5）；（0，-2）；（4，0）；（-10，0）．

点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；也考查了三角形面积公式和平行线的性质．