Question

2．对于平面直角坐标系中的任意点P（x，y），点P到x，y轴的距离分别为d₁，d₂我们把d₁+d₂称为点P的直角距离．记作d，即d=d₁+d₂．直线y=-2x+4分别与x，y轴交于点A，B，点P在直线上．
（1）当P为线段AB的中点时，d=3；
（2）当d=3时，求点P的坐标；
（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d₁+ad₂=4（a为常数），求a的值．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可先求得A、B的坐标，可求得P点坐标，再根据直角距离的定义可求得d；
（2）可设P点坐标为（m，-2m+4），则用m可表示出d，再分情况把绝对值去掉可分别求得m的值，可求得P点坐标；
（3）可设P点坐标为（m，-2m+4），用m表示出d，由条件整理可得到关于m的方程，可求得a的值．

解答 解：
（1）在y=-2x+4中，令y=0可得x=2，令x=0可得y=4，
∴A（2，0），B（0，4），
∵P为线段AB的中点，
∴P（1，2），
∴d=1+2=3，
故答案为：3；
（2）由P在y=-2x+4上，
∴可设P（m，-2m+4），
∴d=d₁+d₂=|m|+|-2m+4|．
当0≤m≤2时，d=d₁+d₂=m-2m+4=4-m=3，
解得：m=1，此时P₁（1，2）．
当m＞2时，d=d₁+d₂=m+2m-4=3，
解得：m=$\frac{7}{3}$，此时P（$\frac{7}{3}$，$-\frac{2}{3}$）．
当m＜0时，d=d₁+d₂=-m-2m+4=3，
解得：m=$\frac{1}{3}$，因为m＜0，所以此时不存在点P．
综上，P的坐标为（1，2）或（$\frac{7}{3}$，$-\frac{2}{3}$）．
（3）同（2）可设P（m，-2m+4），
∴d₁=|-2m+4|，d₂=|m|．
∵P在线段AB上，
∴0≤m≤2．
∴d₁=-2m+4，d₂=m．
∵d₁+ad₂=4，
∴-2m+4+am=4，即（a-2）m=0．
∵有无数个点，
∴a=2．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有函数与坐标轴的交点、新定义及分类讨论思想等．理解好题目中所定义的直角距离是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点不多，难度适中．